EJERCICIOS RESUELTOS DE TEOREMA DE DE MOIVRE

Los números complejos se pueden escribir en forma rectangular y en forma polar.

 

El teorema de Abraham de Moivre se usa para realizar potencias de números complejos.

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA RECTANGULAR

Sea Z = 3-2i, hallar Z⁵

(3-2i)⁵=(3)⁵-5(3)⁴(2i)+10(3)³(2i)²-10(3)²(2i)³+5(3)(2i)⁴-(2i)⁵(3-2i)⁵

=243-5(81)(2i)+10(27)(4i²)-10(9)(8i³)+5(3)(16i⁴)-32i⁵(3-2i)⁵

=243-810i+1080i²-720i³+240i⁴-32i⁵   

=243-810i+1080(-1)-720(-i)+240(1)-32i

  243-810i-1080+720i+240-32i=-597-122i, así, Z⁵ = -597-122i

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR 

Sea Z = (√13) Cis 326.31°

Fórmula de de Moivre: Zⁿ = rⁿ Cis nӨ = rⁿ [Cos nӨ + iSen nӨ]

         Z⁵ = [(√13) Cis 326.31°]⁵ 

              = (√13)⁵ [Cos 5(326.31°) + iSen 5(326.31°)]

              = 169√13 [Cos 1631.55° + iSen 1631.55°]

              = 169√13 [-0.97975 + i(-0.20022)] = -597 - 122i

EJEMPLO: Dado r = 0.5 Cis 15π/2, halle r³

Fórmula de de Moivre: Zⁿ = rⁿ Cis nӨ = rⁿ [Cos nӨ + iSen nӨ]

         r³ = [(0.5) Cis 15π/2]³ = (0.5)³ [Cos 3(15π/2) + iSen 3(15π/2)]

            = 0.125 [Cos 45π/2 + iSen 45π/2] = 0.125 [Cos π/2 + iSen π/2]

              = 0.125 [0 + i(1)] = 0.125i

 

GRUPO I 

     1.-     Dado Z = 2 - 3i, halle Z²

     2.-     Dado Z = 3 - 4i, halle Z³

     3.-     Dado Z = ¾ - 2i, halle Z⁵

     4.-     Dado Z = 2 + 5i, halle Z⁴

     5.-     Dado Z = -3i, halle Z⁵

     6.-     Dado r = 2 Cis 45°, halle r³

     7.-     Dado r = -3 Cis 120°, halle r¹⁰

     8.-     Dado r = -4 Cis π/4, halle r⁴

     9.-   Dado r = -2 Cis (-19π/6), halle r¹⁴ 

    10.-   Dado r = - ¾ Cis (-20π/3), halle r⁷

    11-   Dado Z = 3-2i, halle Z⁵