EJERCICIOS RESUELTOS DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

ANÁLISIS COMBINATORIO: CONSIDERACIONES GENERALES

EJERCICIOS RESUELTOS 
DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

1.- ¿De cuántas maneras se pueden acomodar cuatro libros en un estante?

EXPLICACIÓN: Hay 4 elementos y se tomarán todos a la vez, este caso es de factoriales, donde: 

      n = 4 y r = 4, P₄ = 4! = 1x2x3x4 = 24 maneras

Si a los libros los llamamos A, B, C y D el modo de acomodarlos es:

ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

2.- Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 formar números de 3 cifras.

    

EXPLICACIÓN: Hay 5 elementos y se tomarán 3. El orden de los elementos produce grupos diferentes. 

Este caso es de permutaciones donde n = 5 y r = 3.

Los números obtenidos son:

123  132  124  142  125  152  134  143  135  153  145  154

213  231  214  241  215  251  234  243  235  253  245  254

312  321  314  341  315  351  324  342  325  352  345  354

412  421  413  431  415  451  423  432  425  452  435  453

512  521  513  531  514  541  523  532  524  542  534  543

3.- ¿Cuántos grupos de tres personas se pueden seleccionar de un grupo de 5?

EXPLICACIÓN: Como no hay distinción entre las personas, tenemos un caso de combinación, donde n=5 y r=3, 5C3

Designando a las personas como A, B, C, D y E, los grupos formados serían:

ABC  ABD  ABE  ACD  ACE  ADE  BCD  BCE  BDE  CDE

4.- ¿Cuántos números mayores a 3000 y menores a 50000 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 si no debe repetirse ninguna cifra?

EXPLICACIÓN: El número menor es 3124 y el mayor 45321.

·         3 _ _ _ = 4P3 = 24

·         4 _ _ _ = 4P3 = 24

·         5 _ _ _ = 4P3 = 24

·         1 _ _ _ _ = P₄ = 4! = 24

·         2 _ _ _ _ = P₄ = 4! = 24

·         3 _ _ _ _ = P₄ = 4! = 24

·         4 _ _ _ _ = P₄ = 4! = 24

En otras palabras: 3(4P3) + 4 (P₄) = 3(24) + 4(24) = 7(24) = 168 números

5.- ¿De cuántas formas pueden arreglarse 6 libros de álgebra, biología, cálculo, dibujo, economía e historia en un estante si siempre el de historia y el de economía deben ir en los extremos y los grupos deben ser de cuatro libros?

EXPLICACIÓN: Si los grupos deben tener cuatro libros y dos ya están seleccionados para estar en todos (historia y economía) quiere decir que quedan para escoger dos libros de los cuatro restantes.

Los libros son A, B, C, D, E y H. Si se apartan  E y H para formar los grupos, nos quedan A, B, C y D para escoger de ellos 2.

·         E _ _ H, 4P2 = 12

·         H _ _ E, 4P2 = 12
    En otras palabras: P₂(4P2) = 2! (12) = 24 formas.

6.- En un restaurante hay para seleccionar tres sopas, cuatro platos fuertes y dos postres. ¿De cuántas formas se puede realizar el pedido si se escoge una sopa, un plato fuerte y un postre?

    EXPLICACIÓN: De tres sopas se puede seleccionar una (3C1), de cuatro platos fuertes se puede seleccionar una (4C1) y de dos postres se puede seleccionar uno (2C1) y cada una de las selecciones puede combinarse con las otras de tal forma que:

               3C1 x 4C1  x  2C1 = 3 x 4 x 2 = 24 formas de pedidos.

           S1 F1 P1             S2 F1 P1        S3 F1 P1  

               S1 F1 P2             S2 F1 P2        S3 F1 P2
           S1 F2 P1             S2 F2 P1        S3 F2 P1
           S1 F2 P2             S2 F2 P2        S3 F2 P2
           S1 F3 P1             S2 F3 P1        S3 F3 P1
           S1 F3 P2             S2 F3 P2        S3 F3 P2
           S1 F4 P1             S2 F4 P1        S3 F4 P1
           S1 F4 P2             S2 F4 P2        S3 F4 P2

7.- ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra PALA?

EXPLICACIÓN: La palabra pala tiene repetida la letra A dos veces y tiene en total cuatro letras.
    
                               P4/P2 = 24/2 = 12 palabras

                                      AAPL       PALA       
                                      AALP       PAAL       
                                      APAL       PLAA       
                                      ALAP       LAAP
                                      APLA       LAPA
                                      ALPA       LPAA

               EJERCICIOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO    

   
   1.- ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 6 libros en un estante?
       RESP: 720 maneras

2.- ¿De cuántas formas pueden acomodarse los libros A, B, C, D, E y F en un estante si:
        
         a) El libro A siempre va en el inicio?

     b) Los libros A y F van en los extremos?

     c) Los libros B, C y D siempre van juntos en ese orden?

     d) Los libros B, C y D siempre van juntos en cualquier orden?

     e) Los libros A y F siempre van en posición central?

     f) Los libros C y D nunca deben ir juntos?

     g) Los libros C y E nunca deben ir en los extremos?

3.- ¿De cuántas formas pueden sentarse en una hilera de sillas 6 personas si siempre la misma persona debe ir en un extremo?
      RESP: 240 formas

4.- ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si ninguna cifra debe repetirse?
      RESP: 360 números.

5.- Elena tiene para seleccionar en su almuerzo dos opciones de sopa, tres de plato fuerte y dos de postre. ¿De cuántas formas puede seleccionar su almuerzo?
      RESP: 12 formas

6.- Se deben seleccionar tres personas de un grupo de 8. ¿Cuántas ternas pueden seleccionarse?
      RESP: 56 ternas.

7.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra CAPATAZ si:
     
     a) las vocales deben ir juntas? 
      RESP: 120 palabras

     b) todas empiezan con la letra P y terminan en consonante?
      RESP: 60 palabras.

     c) todas empiezan y terminan en consonante?
      RESP: 240 palabras

     d) No hay restricción alguna?
      RESP: 840 palabras

     e) las consonantes deben ir juntas?
      RESP: 96 palabras.

8.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra CEREBELO?
       RESP: 6720 palabras

9.- ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse con las letras de la palabra MURCIÉLAGO si:

     a) Solo se usan las consonantes.

     b) Todas comienzan con MUR

     c) Todas empiezan con M y terminan con O

     d) Todas empiezan y terminan con una vocal.

10.- ¿Cuántos números mayores a 2500 y menores a 67000 pueden formarse con las cifras 1, 2, 4, 5, 6, 7 y 8?

11.- ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pueden formar con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5 y 7?

12.- En un grupo de personas hay 6 mujeres y 7 varones. ¿Cuántos grupos de seis personas pueden formarse si:

     a) Todas son mujeres.

     b) Todos son varones.

     c) Deben haber tres de cada género.

     d) Deben haber más varones que mujeres.

     e) El mismo varón debe estar en todos los grupos y en cada grupo debe haber tres varones y tres mujeres.

     f) Como mínimo debe haber dos varones.

     g) Como máximo debe haber cuatro varones.

     h) no importa el género de cada miembro.

13.- En una reunión hay 5 abogados, 3 doctores y 4 ingenieros. ¿Cuántos grupos de seis personas se pueden formar si:

     a) Debe haber en cada grupo dos de cada profesión.

     b) Como máximo debe haber en cada grupo 3 abogados.

     c) Deben haber 1 ingeniero y como máximo tres abogados.

     d) Deben haber tres ingenieros y como máximo tres doctores.

14.- Un conjunto referencial tiene 8 elementos. ¿Cuántos subconjuntos de cuatro elementos pueden formarse? Escriba los subconjuntos.

15.- Un conjunto referencial tiene 9 elementos. ¿Cuántos subconjuntos senarios pueden formarse? Escriba losmsubconjuntos.

16.- Una mesa circular tiene 8 puestos. ¿De cuántas formas pueden sentarse las personas?

17.- Una mesa circular tiene 12 puestos. ¿De cuántas formas pueden sentarse 12 personas si dos personas específicas deben ir juntas?

18.- Con las letras de la palabra INGENIERÍA, ¿Cuántas palabras pueden formarse si:

     a) Solo se usan las letras que se repiten.

     b) Se usan todas las letras sin restricción.

     c) Se usan todas las letras y las palabras empiezan con IN y                terminan con RA

     d) Se usan todas las letras y empiezan las palabras con INGE.

     e) Se usan todas las letras sin repetir.