>> EJERCICIOS RESUELTOS DE VOLÚMENES

FORMULACIÓN NECESARIA

Área lateral del cilindro = 2πrh                  Volumen del cono = 1/3 V cilindro

Volumen del prisma = Área de la base x h

 

EJERCICIOS RESUELTOS

 5) Un cilindro tiene un radio de 20 cm y una altura de 80 cm. Halle el radio de una esfera que tiene el mismo volumen que el cilindro.

       Volumen de la esfera = Volumen del cilindro       
              (4/3) π(r esfera)³ = π(r cilindro)²h     
              (4/3) π(r esfera)³ = π(20 cm)²(80 cm)  [simplificamos π] 
              (4/3)(r esfera)³ = 32000 cm³            (r esfera)³ = 32000 (3/4) cm³                                                      ➝  r = 28.84 cm

6) El volumen de un cilindro es de 180π cm³ y su diámetro es seis veces su altura. Halle las dimensiones del cilindro.

     CONDICIÓN: diámetro = 6h ➝ 2r = 6h ➝ r = 3h

     Volumen cilindro = πr²h = π(3h)²h = π(9h²)(h) = 9πh³
                         9 πh³ = 180 π cm³
                              h³ = 20 cm³
                               h =  2.7144cm
                                r = 3h = 3(2.7144 cm) = 8.1432 cm

7.- Una esfera hueca de acero tiene 12 cm de diámetro exterior y 10 cm de diámetro interior. Halle el volumen de la parte de la esfera que contiene acero.

 Volumen esfera entera
 (4/3)π(r exterior)³ =(4/3)π(6 cm)³
         = 904.78 cm³

Volumen  esfera hueca
 (4/3)π(r interior)³ =(4/3)π(5 cm)³
         = 523.60 cm³


Volumen del acero = V esfera entera - V esfera hueca

                 = 904.78 cm³ - 523.60 cm³ = 81.18 cm³

8.- Un tubo cilíndrico hueco de acero tiene 40 cm de longitud, 3 cm de radio exterior y 25 mm de radio interior. Se va a fundir y con el material se va a construir una esfera. Halle el volumen de esta esfera.

V cilindro entero = π(3 cm)²(40 cm) = 1130.97 cm³

V parte hueca = π(2.5 cm)²(40 cm) = 785.4 cm³

V acero = V cilindro entero - V parte hueca = 345.57 cm³

FORMA ABREVIADA 

π[(3 cm)² - (2.5 cm)²](40 cm) = 345.57 cm³

                 V esfera = V acero = (4/3)πr³ = 345.57 cm³ ➝ r esfera = 4.35 cm

 

EJERCICIOS PROPUESTOS DE VOLÚMENES    

       
GRUPO I

Calcule los siguientes volúmenes de los siguientes cuerpos:

 

ESFERAS

     a) Una esfera de 55 cm de radio.          b) Una esfera de 45 cm de radio.
       

     c) Una esfera de 60 cm de diámetro. Resp: 113097.33 cm³

 

     d) Esfera de diámetro igual a 12.54 pies.

    e) Una esfera de 64πcm de perímetro (del perímetro de la circunferencia halle     radio y luego el volumen de la esfera)   Resp: 137258.28 cm³

 

    f) Una esfera de 50π cm de perímetro. Resp: 65450 cm³

    g) Una esfera de 100π cm² de área. Resp: 523.60 cm³

 

CUBOS

 

    a) Un cubo de 16 mm de lado.

    b) Un cubo de 2.5mm de arista.  Resp: 15.63 mm³ 

 

   c) Un cubo de 600 cm² de superficie total (con la fórmula de área total del cubo halle el lado y luego el volumen del cubo).  Resp: 1000 cm³.

 

    d) Un cubo cuya diagonal mide .   Resp: 512000 cm³

    e) Un cubo de 14.142 cm  de diagonal de uno de sus lados.

    f) Un cubo de 576 cm² de área lateral.  Resp: 1728 cm³

CILINDROS

     a) Un cilindro de 10 cm de radio y 0.45 m de altura.

     b) Un cilindro de 30 m de diámetro y de 12 m de altura.

            

     c) Un cilindro de 24 cm de diámetro y 40 cm de altura.

     d) Un cilindro de 20 cm de radio y 48 cm de altura.

 

     e) Un cilindro que tiene 400πcm² de área de la base y cuya altura es el triple de su diámetro.  SUGERENCIA: El volumen del  cilindro es el producto del área de su base circular por su altura. Conocida el área debe hallarse el radio. El diámetro es el doble de la medida  radio. Luego se saca la altura del cilindro y finalmente su volumen.       .

   f) Un cilindro con base de 40π cm de perímetro y altura 3 veces el radio.

       Resp: 75398.22 cm³     

   g) Un cilindro cuyo diámetro mide 45 cm y su altura es 0.4 m

   
   h) Un cilindro de 660π cm² de área lateral y altura dos veces su diámetro.      

 

PRISMAS

   a) Un prisma de base cuadrada de  2 m de lado y 45 cm de altura

   b) Un prisma de base rectangular de 15 cm de frente y de 20 cm de fondo que posee una altura de 36 cm. 

   c) Un prisma cuadrangular cuya diagonal de la base es 28.284 cm y de altura el triple del lado de la base.   Resp: 24000 cm³

   d) Un prisma cuadrangular cuyo perímetro de la base es 108 cm y altura 0.2m       Resp: 14580 cm³

GRUPO II

 a)     El volumen de una esfera es de 0.8 m³. Halle su radio.  Resp: 0.5758 m

 b)   El volumen de un cilindro es de 2.45 m³. Si su radio es 45 cm, halle su altura.    Resp: 3.8511 m

    c)  El perímetro de una base cilíndrica es de 48 cm. Si su volumen es de 126 cm^3, halle su altura.   Resp: 0.68 cm

    d) El volumen de un cilindro es de 0.8m³  . Halle sus dimensiones si su radio es la décima parte de su altura.    Resp: r =0.29418 m, h = 2.9418 m

 

    e) Un cubo tiene 125 cm³ de volumen. Halle su arista.

f) Un cilindro tiene un radio de 30 cm y una altura de 80 cm. Halle el radio de una esfera que tiene el mismo volumen que el cilindro.   

g) Una esfera de acero tiene un radio de 12 cm y su volumen es igual al de un cilindro de plomo cuyo radio mide el doble que su altura.

• Halle el volumen de la esfera.
• Halle las dimensiones del cilindro.

    h) La diagonal de un cubo de 64000 cm³ de volumen corresponde al 40% del diámetro de una esfera. Halle el volumen de la esfera.   Resp: 2720699.05 cm³

     i) Si un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, exprese el radio de la esfera en función del lado del cubo.
 

    j) El radio de la tierra es  6378 km y el de Júpiter  71492 Km. ¿Cuántas veces el volumen de la tierra está contenido en el volumen de Júpiter?

           Resp: 1408.38 veces 

 k) Se colocan 10 esferitas de 4.1888 cm³ de volumen cada una en columna dentro de un tubo hueco y caben perfectamente sin quedar espacios entre las esferas y el tubo. Las esferas quedan al ras con la superficie libre del tubo. ¿Cuáles son las dimensiones de la parte hueca del tubo?   RESP:  r= 2 cm, h= 20 cm

 l) Una esfera hueca tiene 5 cm de radio exterior y 8 cm de diámetro interior. Halle el volumen de la esfera hueca.                   RESP: 255.52 cm³

 m) Un cubo de acero de 25 cm de lado contiene en su interior una esfera de cobre de 16 cm de diámetro. ¿Cuál es el volumen del acero?

 n) Una esfera y un cubo tienen el mismo volumen. ¿Cuál es el diámetro de la esfera si el lado del cubo es de 20 cm?  

 o) Halle el volumen de un tubo cilíndrico hueco de acero de 5.5 cm de radio exterior y 5 cm de radio interior que tiene 20 cm de longitud.


    APLICACIONES DE VOLÚMENES

    GRUPO III

1)    Un balde cilíndrico tiene 20 cm de radio y 55 cm de altura y se llena en un 90% de agua. ¿Cuántos baldes se llenarán con el agua de una cisterna de 3m x 2m x 1.5m que se halla llena en un 80%? 

2)    Se funden 50 esferas de acero de 2 cm de radio para convertirlas en 20 esferas de igual radio. ¿Cuál es el radio de las nuevas esferas?

3)    En una balanza se contraponen una esfera de cobre de 5 cm de radio y una esfera de aluminio. La balanza está equilibrada. ¿cuál es el radio de la esfera de aluminio?

4)     Una esfera de acero rueda por el concreto y al dar 100 vueltas ha recorrido 150 metros. ¿Cuál es su peso?