NÚMEROS IMAGINARIOS

DEFINICIÓN DE NÚMEROS IMAGINARIOS

Los números imaginarios surgieron por la necesidad de hallar respuestas a raíces de grado par de cantidades negativas, un gran campo numérico de mucha aplicación en el área de ingeniería que se hallaba olvidado.

Conocemos que al elevar al cuadrado cantidades positivas o negativas el resultado siempre es un número positivo.

              (+1)² = (+1)(+1) = 1        (-1)² = (-1)(-1) = 1

De esta manera, al extraer la raíz cuadrada de 1, la solución será +1 y -1.

Pero si se desea extraer la raíz cuadrada de -1 en el campo de los números reales no es posible. Euler terminó con este problema y a la raíz cuadrada de -1 le asignó el valor de i.

Partiendo de esta asignación hecha por Euler podemos establecer lo siguiente:

 

Si se tiene i elevado a una potencia mayor a 4, descomponemos esta potencia en la suma de dos exponentes, uno de los cuales es el mayor múltiplo de 4 contenido y el otro el que completa a la potencia.

Sea i²³ = i²⁰⁺³ = i²º(i³)=(i⁴)⁵(-i)=(1)⁵(-i) = -i             Sea i⁷⁴ = i⁷²⁺² = (i⁴)¹⁸(i²)=(1)¹⁸(-1)=-1

Los números imaginarios forman parte de los números complejos.  Un número complejo se suele escribir Z=a+bi, donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria

Por ejemplo, supongamos que queremos elevar a la quinta Z=3-2i.

(3-2i)⁵=(3)⁵-5(3)⁴(2i)+10(3)³(2i)²-10(3)²(2i)³+5(3)(2i)⁴-(2i)⁵

(3-2i)⁵=243-5(81)(2i)+10(27)(4i²)-10(9)(8i³)+5(3)(16i⁴)-32i⁵

(3-2i)⁵=243-810i+1080i²-720i³+240i⁴-32i⁵

(3-2i)⁵=243-810i+1080(-1)-720(-i)+240(1)-32i

(3-2i)⁵=243-810i-1080+720i+240-32i=-597-122i

Así, Z⁵ = -597-122i