PROPOSICIONES LÓGICAS Y CONECTIVOS LÓGICOS

 PROPOSICIONES LÓGICAS Y CONECTIVOS LÓGICOS  

En lógica matemática, las proposiciones son enunciados aseverativos, llamados así porque pueden recibir un valor de verdad, verdadero o falso dependiendo de lo que se desea expresar. 

Aseverar, según la RAE quiere decir "asegurar o afirmar lo que se dice". Al afirmarse un enunciado, habrá que colegir una respuesta de si este enunciado es falso o verdadero.

Consideremos las proposiciones siguientes y el valor de verdad de cada una de ellas: 

•  3+5=8, su valor de verdad es verdadero (V)
•  La luna solo sale de noche, su valor de verdad es falso (F) porque a veces se la puede ver en el día a pesar de que la luz del sol mengue su visibilidad. 
• La ciudad de México es la más poblada de Latinoamérica, su valor de verdad es verdadero (V) (21581000 hab en 2019).
• La raíz cuarta de 625 es 25, su valor de verdad es falso (F) puesto que 25 es la raíz cuadrada.

Los valores de verdad de las proposiciones dadas son irrefutables, esto es, son claros y no permiten discusión de ninguna clase.

Hay otros enunciados que no permiten obtener un valor de verdad claro, si no que dependen de quien las responda. Por ejemplo, el enunciado con la fe todo se puede, su valor de verdad dependerá de quien responda. Un creyente asignará el valor de verdadero y un incrédulo dirá que es falso. Este tipo de enunciados no corresponden a una proposición aseverativa y no puede formar parte de la lógica matemática.

Hay otros enunciados cuyo valor de verdad no todos lo conocen. Por ejemplo, el enunciado sobre si la ciudad de México es la más poblada de Latinoamérica que, aunque sea verdadero, no todas las personas pueden conocerlo. 

Todas las proposiciones expuestas anteriormente son proposiciones simples. Existen las proposiciones compuestas que corresponde a la reunión de dos o más proposiciones simples que se enlazan mediante conectivos.

Cuando se enlazan varias proposiciones su valor de verdad dependerá del conectivo que se utilice y la forma en que las proposiciones se enlazan.

Un conectivo es un símbolo que enlaza a dos proposiciones. Los conectivos que se utilizan en lógica matemática son:

• Negación (ㄱ) que al anteponer a una proposición le cambia su valor de verdad. Sea el enunciado p: Esther es la mejor alumna de la clase, su negación será ㄱp: Esther no es la mejor alumna de la clase.
• Conjunción (∧) que al enlazar dos proposiciones, para obtener un valor de verdad verdadero obliga por el razonamiento a que ambas sean verdaderas. Todos los demás casos producirá falso. Sean p: el sol es una estrella, y q: 5³= 125, entonces p∧q≡V, ya que nadie puede refutar que ambas proposiciones son verdaderas.
• Disyunción inclusiva (v) que no permite que al enlazar las proposiciones ambas sean falsas, ya que siendo ambas falsas el valor de verdad resultante es falso. Sea p: estudiaré física, y q: estudiaré matemáticas, la expresión pvq no admite no estudiar ninguna de las dos. Así, si ambas son falsas pvq≡F. Extendiendo la explicación, podrían darse los siguientes escenarios: 1ro que se elija estudiar ambas materias, 2do que se elija física y no matemáticas y, 3ro que se elija matemáticas y no física.
• Disyunción exclusiva (⊻) que es más enfática al enlazar dos proposiciones y permitir que una de las dos premisas sea verdadera y la otra falsa para que su valor de verdad sea verdadero. Sea p: estudiaré física, y q: estudiaré matemáticas, p⊻q será "o bien estudiaré física o bien estudiaré matemáticas", lo que abre paso a seleccionar una de las dos, jamás las dos o ninguna de ellas. 
• Condicional o implicación (➝) cuyo valor de verdad es falso solamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Sea p: te portas bien y, q: te compro un helado; la expresión enlazada sería "si te portas bien entonces te compro un helado". En lenguaje simbólico p➝q.
• Bicondicional o doble implicación (↔️) que enfatiza en el enunciado al permitir que ambas proposiciones sean verdaderas o falsas para producir un valor de verdad verdadero. Sea p: te portas bien y, q: te compro un helado; la expresión enlazada sería "solamente si te portas bien entonces te compro un helado". En lenguaje simbólico p↔️q. Admitiendo el énfasis en el enlace es lógico esperar que solo si te portas bien se te compre un helado y que si no te portas bien no se te lo compre.